PID控制是目前工程上应用最广的一种控制方法,其结构简单,且不依赖被控对象模型,控制所需的信息量也很少,因而易于工程实现,同时也可获得较好的控制效果。

PID控制是将误差信号e(t)的比例(P),积分(I)和微分(D)通过线性组合构成控制量进行控制,其输出信号为:

\[u(t) = {K_P}[e(t) + \frac{1}{{{T_I}}}\int_0^t {e(t)dt + {T_D}\frac{{de(t)}}{{dt}}} ]\]

下面用MATLAB软件对PID控制做简单的仿真描述。

1. 建立二阶负反馈控制系统,其开环传递函数为:

\[{G_O}(s) = \frac{1}{{(2s + 1)(5s + 1)}}\]

clc; clear all; close all;
Go = tf(1,conv([2,1],[5,1]));

2. 比例控制,输出与输入偏差成比例,即直接将误差信号放大或缩小。比例控制的传递函数为:

\[{G_C}(s) = {K_P}\]

取不同的比例系数,绘制系统的单位阶跃响应曲线:

Kp = [0.5,2,5,10];
for m = 1:4
  sys = feedback(Kp(m)*Go,1);
  step(sys); hold on;
end

比例控制的单位阶跃响应曲线

随着KP值的增大,系统响应速度加快,但系统的超调也随着增加,调节时间也随着增长。当KP增大到一定值后,闭环系统将趋于不稳定。

比例控制具有抗干扰能力强、控制及时、过渡时间短的优点,但存在稳态误差,增大比例系数可提高系统的开环增益,减小系统的稳态误差,从而提高系统的控制精度,但这会降低系统的相对稳定性,甚至可能造成闭环系统的不稳定,因此,在系统校正和设计中,比例控制一般不单独使用。

3. 微分控制,输出与输入偏差的微分成比例,即与偏差的变化速度成比例。微分控制(与比例控制同时使用)的传递函数为:

\[{G_C}(s) = {K_P}(1 + {T_D}s)\]

取不同的微分系数,绘制系统的单位阶跃响应曲线:

Kp = 10;
Td = [0,0.4,1,4];
for m = 1:4
  G1 = tf([Kp*Td(m),Kp],[0,1]);
  sys = feedback(G1*Go,1);
  step(sys); hold on;
end

微分控制的单位阶跃响应曲线

随着TD值的增大,系统超调量逐渐减小,动态特征有改善。

自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现振荡甚至不稳定,原因是存在有较大惯性或有滞后的组件,具有抑制误差的作用,其变化总是落后于误差的变化,在控制器质中仅引入比例项是不够的,比例项的作用仅是放大误差的幅值,而微分项能预测误差的变化趋势,这样,具有比例+微分的控制器,就能提前使抑制误差的控制作用等于零,甚至为负值,从而避免被控量的严重超调,改善动态特性。

微分控制反映误差的变化率,只有当误差随时间变化时,微分控制才会对系统起作用,而对无变化或缓慢变化的对象不起作用。另外,微分控制对纯滞后环节不能起到改善控制品质的作用,反而具有放大高频噪声信号的缺点。

4. 积分控制,输出与输入偏差的积分成比例,即与误差的积累成比例。积分控制(与比例控制同时使用)的传递函数为:

\[{G_C}(s) = {K_P}(1 + \frac{1}{{{T_I}}} \cdot \frac{1}{s})\]

取不同的积分系数,绘制系统的单位阶跃响应曲线:

Kp = 2;
Ti = [3,6,12,24];
for m = 1:4
  G1 = tf([Kp,Kp/Ti(m)],[1,0]);
  sys = feedback(G1*Go,1);
  step(sys); hold on;
end

积分控制的单位阶跃响应曲线

加入积分控制后,消除了系统稳态误差,但随着TI值的增大,达到稳态的过渡时间也逐渐加长。

积分项对误差取决于时间的积分,随着时间的增加,积分项会增大。这样,即使误差很小,积分项也会随着时间的增加而加大,它推动控制器的输出增大,使稳态误差进一步减小,直到等于零,但会使系统稳定性降低,过渡时间也加长。

5. 比例积分微分控制,即PID控制的传递函数为:

\[{G_C}(s) = {K_P}(1 + \frac{1}{{{T_I}}} \cdot \frac{1}{s} + {T_D}s)\]

取适当的比例、积分、微分系数,绘制系统的单位阶跃响应曲线:

Kp = 100;
Ti = 2.2;
Td = 7;
G1 = tf([Kp(m)*Td(m),Kp(m),Kp(m)/Ti(m)],[0,1,0]); 
sys = feedback(G1*Go,1);
step(sys);

PID控制的单位阶跃响应曲线

PID控制通过积分作用消除误差,而微分控制可缩小超调量、加快系统响应,是综合了PI控制和PD控制长处并去除其短处的控制。